ГЛАВА 3. ШИРОТНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ЯРКОСТИ ЛУННОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Целью диссертационной работы является исследование закона отражения света Луной. Основное внимание при этом уделяется изучению зависимости яркости от фотометрических координат Y(a,j,l), описывающей распределение яркости по диску однородной Луны.

Закон отражения света можно представить в виде (1.5):

, 

где A(a,j,l) – видимое альбедо; r(a) – эквигональное альбедо; Y(a,j,l) – функция распределения яркости по диску при заданном угле фазы a. Фазовую функцию без учёта оппозиционного эффекта (т.е. при a>20°) можно описать выражением (1.28):

, 

где m – диффузное альбедо, m - эффективный коэффициент шероховатости. Распределение яркости по диску Луны лучше всего описывается комбинированной функцией Акимова (1.52)

или эмпирической функцией Акимова (1.53)

, 

где q – фактор гладкости, зависящий от угла фазы. При этом основное воздействие на вид функции (3.4) параметр q оказывает, входя в широтную зависимость яркости (см. раздел 1.6):

. 

А в функцию (3.3) параметр q вообще входит только через широтную зависимость, которая имеет такой же вид (3.5).

Поэтому поставленная в работе задача сводится к изучению широтной зависимости яркости лунной поверхности, нахождению её параметра - фактора гладкости q и исследованию его зависимости от угла фазы. Также следует понять, какие механизмы формируют широтную зависимость, разделив влияние на неё альбедо и рельефа.

3.1. Экспериментальное исследование закона распределения яркости по диску Луны

При углах фазы больше 60° широтная зависимость яркости лунной поверхности изучена довольно плохо. Есть лишь сведения о том, что фактор гладкости q при больших углах фазы возрастает быстрее, чем по линейному закону [4]. То есть именно при больших углах фазы (больше 60-90°) широтная зависимость становится весьма существенной и, поэтому, требует тщательного изучения.

С целью такого изучения автором были проведены фотометрические наблюдения поверхности Луны и получены её изображения при больших углах фазы (82-149°) и в полнолуние (2-5°). Методика наблюдений описана в Главе 2. Обстоятельства конкретных наблюдений приведены в табл.3.1. Также для анализа были привлечены данные наблюдений из работы [33], любезно предоставленные её авторами (это 9 изображений Луны в красном фильтре при небольших углах фазы: 11-62°), а также изображения Луны в двух фильтрах, полученные Л.А. Акимовым в 1968 году при a=142.38°. С помощью всего этого набора данных было проведено исследование закона распределения яркости по диску.

Таблица 3.1. Обстоятельства фотометрических наблюдений Луны

а - наблюдения с ПЗС-линейкой

a	F	Date	UT	z	D	bS	lS	b0	l0
2.62	B	07.08.98	22h17m	66.1	213.44	-0.45	-2.44	-1.36	-4.89
2.68	R	07.08.98	22h06m	65.8	213.44	-0.45	-2.35	-1.36	-4.87
104.49	B	31.05.98	19h09m	64.7	225.46	-1.55	110.04	1.91	5.59
104.56	R	31.05.98	18h59m	63.1	225.35	-1.55	110.13	1.92	5.61
122.29	R	30.04.98	18h15m	62.9	215.66	-1.37	129.08	6.43	6.74
-133.32	R	16.10.98	2h56m	58.9	227.18	1.26	-126.69	-0.24	6.63
134.97	R	29.04.98	18h39m	75.5	212.96	-1.36	141.10	7.06	5.92

б - наблюдения с ПЗС-матрицей

a	F	Date	UT	z	D	bS	lS	b0	l0
5.23	B	17.05.00	23h55m	72.7	228.45	-1.34	7.31	-5.02	3.53
5.24	R	17.05.00	23h53m	72.5	228.44	-1.34	7.33	-5.02	3.59
82.33	B	09.06.00	18h01m	49.6	217.52	-0.92	89.20	-5.16	6.82
82.32	R	09.06.00	18h03m	49.8	217.53	-0.92	89.19	-5.16	6.81
-93.98	B	23.08.00	2h22m	36.6	212.05	0.93	-99.07	5.73	-4.98
-93.93	R	23.08.00	2h14m	37.2	212.09	0.93	-99.01	5.73	-4.96
104.57	B	09.05.00	17h21m	42.1	209.97	-1.42	108.21	-0.23	3.63
104.56	R	09.05.00	17h23m	42.3	209.99	-1.42	108.20	-0.23	3.63
107.96	B	07.06.00	17h55m	53.1	211.74	-0.97	113.70	-2.98	5.66
107.95	R	07.06.00	17h57m	53.4	211.76	-0.97	113.69	-2.98	5.66
117.79	B	08.05.00	17h52m	53.9	208.80	-1.43	120.17	1.43	2.40
117.81	R	08.05.00	17h50m	53.4	208.78	-1.43	120.20	1.43	2.41
121.35	B	06.06.00	17h53m	58.2	209.26	-1.00	125.96	-1.47	4.56
121.34	R	06.06.00	17h55m	58.5	209.28	-1.00	125.94	-1.47	4.56
131.69	B	07.05.00	17h22m	58.5	207.73	-1.44	132.66	3.07	0.98
131.84	R	07.05.00	17h05m	55.7	207.57	-1.44	132.81	3.08	0.98
135.20	B	05.06.00	17h37m	63.0	207.22	-1.01	138.33	0.22	3.12
135.22	R	05.06.00	17h35m	62.7	207.20	-1.01	138.35	0.22	3.12
148.98	B	04.06.00	17h54m	74.3	206.33	-1.04	150.43	1.97	1.44
148.97	R	04.06.00	17h55m	74.5	206.34	-1.04	150.42	1.97	1.45

a - угол фазы (в градусах); знак минус означает, что наблюдения проводились после полнолуния
F - фильтр (B - синий, R - красный)
Date - дата наблюдения
UT - всемирное время наблюдения
z - зенитное расстояние Луны (в градусах)
D - расстояние от наблюдателя до центра Луны (в радиусах Луны)
b_S - селенографическая широта подсолнечной точки (в градусах)
l_S - селенографическая долгота подсолнечной точки (в градусах)
b₀ - селенографическая широта поднаблюдательной точки (в град.)
l₀ - селенографическая долгота поднаблюдательной точки (в град.)

Картирование параметров закона распределения при использовании наземных наблюдений затруднено, так как фотометрическая широта каждого участка поверхности Луны меняется лишь в небольших пределах. Получение распределения фактора гладкости по лунной поверхности возможно только при наличии большого количества наблюдений Луны при различных значениях либрации по широте. Поэтому автор ограничился исследованием средней широтной зависимости для различных типов лунной поверхности (для материков и морей, а также для пяти типов поверхности, выделенных по альбедо).

3.1.1. Вычисление фактора гладкости.

Для анализа широтной зависимости определялось отношение яркости для данного угла фазы к яркости поверхности Луны вблизи полнолуния (здесь используется тот факт, что в полнолуние яркость однородной Луны не зависит от фотометрических координат). При этом изображения Луны, соответствующие полнолунию (α=2.7° и 5.2°), корректировались за распределение яркости по диску в соответствии с теоретическим законом Акимова . Эта процедура коррекции позволяла получать величины, близкие к нормальному альбедо лунной поверхности. Для изображений, полученных с помощью ПЗС-линейки (в том числе для данных [33]), использовалось изображение в полнолуние, полученное с ПЗС-линейкой (α=2.7°). Для ПЗС-матрицы, аналогично, использовалось полнолуние с α=5.2°.

В результате деления были получены распределения по лунному диску величины

, 

где r(a) – эквигональное альбедо при данном угле фазы a; r(a₀) – эквигональное альбедо того же участка лунной поверхности вблизи полнолуния; Y(a,j,l) – закон распределения яркости по диску Луны. На рис.3.1 представлены примеры распределений фазовых отношений b(a,j,l) по диску Луны. Видно, что на них присутствуют локальные вариации величины b, вызванные неоднородностью физических параметров поверхности Луны, определяющих отношение ρ(a)/ρ(a₀) в (3.6). Но гораздо сильнее (особенно при больших углах фазы) на распределениях фазового отношения b проявляется падение яркости от экватора к полюсам и от лимба к терминатору, определяемое функцией Y(a,j,l). Если в некотором приближении пренебречь неоднородностью отношения ρ(a)/ρ(a₀) по диску Луны, то можно аппроксимировать полученные распределения величины b(a,j,l) формулой для закона отражения Y(a,j,l) ((3.3) или (3.4)) и найти значение фактора гладкости q, входящего в неё. Это и было сделано автором. Для того чтобы уменьшить ошибки связанные с неоднородностями ρ(a)/ρ(a₀), аппроксимация проводилась не по всему диску Луны, а отдельно для разных типов поверхности, выделенных по альбедо (см. раздел 3.2). Действительно, фазовое отношение b в значительной мере зависит от параметра m (формула (3.2)), который в свою очередь сильно зависит от альбедо (см. п.1.3.2), и можно надеяться, что области на поверхности Луны с близкими значениями альбедо будут иметь близкие значения величины ρ(a)/ρ(a₀).

Рис.3.1. Фазовые отношения яркости лунной поверхности (красный фильтр)

а - отношение изображений при a=-93.93° и a=5.24°
б - отношение изображений при a=104.56° и a=5.24°

Данное исследование было проведено со всеми изображениями, полученными в красном фильтре. Зависимость фактора гладкости от спектрального диапазона была исследована отдельно (раздел 3.3).

Широтная зависимость яркости. Вначале автор попытался исследовать широтную зависимость непосредственно – путём изучения распределения яркости вдоль фотометрических меридианов. Было сделано предположение, что истинное распределение яркости по диску Луны можно представить произведением двух функций, одна из которых зависит только от фотометрической широты, а другая – только от фотометрической долготы, подобно тому, что имеет место в формулах (1.18), (1.9), (1.43), (3.3), (3.4):

. 

Тогда b(a,j,l) для каждого фотометрического меридиана является только функцией широты.

При этом, основываясь на формулах (3.3) и (3.4), автор предполагал, что Y₁(a,j) описывается выражением (3.5), и тогда для каждой точки какого-либо фотометрического меридиана (при заданном угле фазы) можно записать следующее выражение для фазового отношения яркости:

, 

где b₀ – фазовое отношение на экваторе для данной долготы. Логарифмируя выражение (3.8), получаем уравнение

, 

а точнее систему таких уравнений, записанных для каждой точки меридиана. Решая эту систему методом наименьших квадратов, находим величину q (одновременно с b₀), наилучшим образом описывающую распределение фазового отношения вдоль фотометрического меридиана для данного угла фазы.

Таким путём были получены значения фактора гладкости q материков для углов фазы 30–135° (использованы наблюдения при 7 углах фазы) для красного фильтра. При этом для вычисления параметра q использовались точки на поверхности Луны, альбедо которых выше некоторого значения (а именно, A>0.12), соответствующего границе между морями и материками (см. раздел 3.2). Значения q вычислялись для набора фотометрических долгот с шагом по l, примерно равному 1 пикселу изображения, а затем усреднялись по всем l. При этом не использовались точки, расположенные близко к терминатору (ближе, чем ~15°), за исключением изображений при очень больших углах фазы, где расстояние между лимбом и терминатором было порядка тех же 15° (на высоких широтах). Также исключались области с фотометрической широтой больше ~60°. Это делалось для того, чтобы максимально расширить диапазон долгот и уменьшить случайные ошибки, связанные с неоднородностью фазового отношения, которая особенно проявляется (при аппроксимации) именно на высоких широтах.

Зависимости q(l) для некоторых углов фазы приведены на рис.3.2. Разброс q вдоль долготы составил 0.03–0.1 (для разных углов фазы), среднее квадратичное отклонение измеренных значений от даваемых функцией (3.5) – 5-10%. Это связано в первую очередь с тем, что фазовое отношение ρ(a)/ρ(a₀) в (3.6) не является константой для всей поверхности материков. Фактор гладкости q, в свою очередь, также может изменяться вдоль поверхности материков в некоторых пределах.

Рис.3.2. Распределение показателя широтной зависимости q вдоль фотометрической долготы (пунктиром показаны средние значения q по всем долготам)

Полученные значения разброса q вдоль долготы можно считать оценкой погрешности для фактора гладкости.

Однако, данную методику удалось применить только для материков восточного полушария Луны, где на каждом меридиане есть достаточное количество материковых точек для аппроксимации широтной зависимости яркости. Для других типов поверхности результаты оказались статистически недостоверными. Поэтому было решено производить аппроксимацию всего распределения яркости по диску функцией Y(a,j,l), содержащей как широтную, так и долготную составляющую.

Распределение яркости по диску. Аппроксимация наблюдаемых распределений яркости была произведена двумя способами: с помощью комбинированной функции Акимова (3.3) и с помощью эмпирической функции Акимова (3.4).

В первом случае предполагалось, что наблюдаемое фазовое отношение яркости при заданном угле фазы a можно представить (аналогично (3.8)) в виде:

, 

или, после преобразований:

. 

Записав систему таких уравнений для всех исследуемых точек на изображении и решая её методом наименьших квадратов, находим величину q.

Во втором случае фазовое отношение яркости было записано в виде:

. 

В эту формулу параметр q входит более сложным образом, чем в (3.8) и (3.10), поэтому для отыскания его значения использовался метод градиентного спуска Хука-Дживса [14], позволивший, подбирая q и b₀, минимизировать величину среднего квадратичного отклонения наблюдаемых значений от даваемых функцией (3.12).

При аппроксимации не использовались точки, расположенные близко к лимбу и терминатору (первые – из-за геометрических ошибок, вторые – из-за сильного влияния макрорельефа). Отступы в обоих случаях принимались равными 10°.

Погрешности для величин q, вычисленных при аппроксимации функцией (3.3), составили примерно 0.1-0.3. При этом использовать стандартный способ вычисления погрешностей (для метода наименьших квадратов) не удалось, так как при аппроксимации, как правило, использовались десятки тысяч значений отсчётов на изображении, которые не являются результатами полностью независимых измерений. Поэтому оценка погрешности была сделана приближённо – на основе среднего квадратичного отклонения (s) наблюдаемых значений от функции (3.11), используемой при аппроксимации. Процедура оценки погрешности заключалась в следующем. Уравнение (3.11) является, по сути, уравнением прямой, в котором аргументом является , а коэффициентом наклона – q. При этом аргумент изменяется в некотором диапазоне (его длина составляет , где |j|_min и |j|_max – минимальное и максимальное значения модуля фотометрической широты исследуемых точек). Если зафиксировать значение функции (3.11) в середине этого диапазона и изменять наклон прямой q, то в качестве оценки погрешности можно взять значение приращения наклона Dq, при котором отклонение прямой от первоначального положения на краю диапазона аргумента составит величину, равную s - среднему квадратичному отклонению измерений от функции Y(a,j,l). То есть

, 

где |j|_min и |j|_max – минимальное и максимальное значения модуля фотометрической широты исследуемых точек, s - среднее квадратичное отклонение наблюдаемых значений величины от даваемых формулой (3.11). Отметим, что при аппроксимации не использовались точки, расположенные близко к полюсу, и поэтому величина всегда конечна. Далее в работе всюду приведены оценки погрешности, вычисленные именно таким способом.

Использование для аппроксимации функции Y(a,j,l) в виде (3.3) и (3.4) позволило не только провести исследования для других типов лунных образований (см. раздел 3.2), но и проверить применимость этих функций для описания распределения яркости по диску Луны во всем диапазоне фазовых углов. Оказалось, что значения фактора гладкости q(a), полученные при аппроксимации распределения яркости для материков функциями (3.3) и (3.4), отличаются от аналогичных значений, полученных прямым способом (см. выше), не более чем на 0.1, что соответствует погрешности измерений. Также оказалось, что среднее квадратичное отклонение наблюдаемого распределения яркости от функции Y(a,j,l) для всех типов поверхности и во всем диапазоне фазовых углов составляет 5-10%, как было и при аппроксимации по меридианам. Это говорит о том, что функции (3.3) и (3.4) вполне применимы для описания распределения яркости по диску Луны.

Единственное различие между результатами, даваемыми функциями (3.3) и (3.4), проявилось в том, что при использовании эмпирической функции Акимова (3.4) некоторые полученные значения фактора гладкости очень сильно выпадают из общей зависимости q(a), чего не наблюдается при использовании функции (3.3). Это вызвано, по-видимому, тем, что, хотя долготные составляющие этих функций и близки, но в долготную компоненту функции (3.4) входит варьируемый параметр q. Это приводит к тому, что если в каком-то конкретном распределении фазового отношения присутствует существенная неоднородность по долготе, то это может сильно повлиять на определяемое для него значение параметра q (неоднородности по широте, конечно, тоже влияют на него). А в случае использования функции (3.3) ошибки, связанные с существованием неоднородностей на поверхности Луны, могут быть вызваны только неоднородностями по широте, что должно встречаться реже, чем любые неоднородности.

Поэтому, автор принял решение использовать в диссертационной работе для аппроксимации наблюдательных данных только комбинированную функцию Акимова (3.3). Помимо того, что она дает более устойчивые результаты (в описанном выше смысле), она также проще и удобнее для вычислений. А полученные с её помощью значения фактора гладкости q могут быть использованы, при необходимости, и в эмпирической функции (3.4).

Это, однако, не означает, что функция (3.3) лучше подходит для Луны, чем (3.4): в пределах точности рассматриваемого метода эти функции описывают наблюдаемые данные одинаково хорошо. Предпочтение одной из формул было отдано лишь из-за особенностей используемого метода исследований.

3.1.2. Фазовая зависимость фактора гладкости.

Итак, для всех изображений Луны, полученных в красном фильтре, описанным в п.3.1.1 методом были найдены значения фактора гладкости q, входящего в функцию распределения яркости по диску (3.3). Эта операция была проделана для разных типов лунной поверхности (см. раздел 3.2), но мы пока, для примера, остановимся только на материках.

Фазовая зависимость q(a), построенная по всем измеренным значениям фактора гладкости, приведена на рис.3.3 (кружки). Там же для сравнения приведена функция q(a)=a/(p-a), соответствующая теоретической формуле (1.43) для предельно шероховатой поверхности (кривая 1). На рисунке видно, что закон Акимова (1.43) качественно правильно описывает поведение широтной зависимости при изменении α. Однако реально величина q(a) примерно в 2 раза меньше на всём интервале углов фазы.

Рис.3.3. Зависимость показателя широтной зависимости q луных материков от угла фазы

кружки - измеренные значения
кривая 1 - теоретическая зависимость (закон Акимова)
кривая 2 - аппроксимация функцией (3.14)
кривая 3 - показатель широтной зависимости в формуле Хапке (см. п.3.1.3)

Поэтому автор решил аппроксимировать зависимость q(a) следующей функцией:

, 

где n - некоторый коэффициент. Эта функция обращается в теоретическую зависимость из закона Акимова (1.43) при n=1. Оказалось, что для материков n=0.52±0.09 (оценка погрешности сделана на основе погрешностей величин q при больших углах фазы). На рис.3.3 (кривая 2) изображена зависимость (3.14) с таким значением n. Отметим, что при аппроксимации не учитывалась точка при a=148.97°, отклонившаяся от полученной зависимости более, чем на 3s.

Полученный результат качественно соответствует тому, что ранее обнаружил Акимов [4]: при небольших углах фазы зависимость q(a) близка к линейной, а при бóльших углах фазы q возрастает быстрее. В то же время формула (3.14) даёт и количественное описание фазовой зависимости фактора гладкости, которое может быть использовано при углах фазы, по крайней мере, до 135°. О количественном же соответствии с результатами Акимова речь пойдет в разделе 3.2.

Чтобы убедиться, что другие методы аппроксимации широтной зависимости, описанные в п.3.1.1, дают схожие результаты, часть наблюдательных данных (те, что получены с ПЗС-линейкой) была обработана с помощью формул (3.8) и (3.12). В первом случае (прямой метод) было получено значение n=0.53±0.07, во втором случае (эмпирическая формула Акимова) - n=0.51±0.04. Таким образом, различие между результатами, полученными разными методами, несущественно.

3.1.3. Широтная зависимость в формуле Хапке.

Как было показано выше, формула Акимова достаточно хорошо описывает распределение яркости по поверхности лунных материков. Однако в настоящее время многие исследователи (для примера см. [61]) пользуются более громоздкой формулой Хапке (1.36). Автор решил проверить, насколько приемлемо она описывает широтную зависимость яркости лунных материков в широком диапазоне углов фазы (данная часть работы была сделана, когда у автора имелись лишь данные по материкам, полученные из наблюдений с ПЗС-линейкой).

Так как использовался интервал фазовых углов 30–122°, оппозиционный эффект не учитывался (B(a)=0). Для определения оставшихся трёх параметров функции Хапке наблюдений только распределения яркости по диску оказалось недостаточно (однозначно оказалось можно определить только один параметр). Поэтому было рассмотрено следующее обстоятельство. Значение эквигонального альбедо определяют, главным образом, два параметра функции Хапке: w – альбедо однократного рассеяния и g – параметр индикатрисы Хеньи-Гринстейна. Параметр (средний наклон мезорельефа) на фазовую зависимость в интервале углов 30-90° заметного влияния не оказывает. Поэтому, значения w и g были получены путём аппроксимации функцией Хапке зависимости (1.28), где были взяты параметры фазовой зависимости, характерные для материков (m=0.12, m=0.7) [33]. Полученные значения параметров (w=0.17, g=-0.25) были подставлены в функцию Хапке, после чего она была использована для аппроксимации наблюдаемых распределений яркости по диску Луны при различных углах фазы (30-122°). Определённые в результате значения наклона были усреднены по всем углам фазы (их было 6), что дало искомую величину =0.32±0.02.

Отклонение наблюдаемых значений от функции Хапке такое же, как и для функции (3.3): 5-10%. То есть, в пределах точности измерений, обе функции описывают наблюдения с одинаковым успехом в интервале фазовых углов 30-122° и фотометрических широт до 65°. На рис.3.3 (кривая 3) изображена зависимость q(a), полученная в результате аппроксимации функцией (3.5) широтной зависимости функции Хапке с указанными выше параметрами по меридиану l=a/2. Видно, что заметные расхождения с функцией (3.14) начинаются при углах фазы a>120°. Полученные в этом интервале точки лежат, в основном, вблизи кривой (3.14), и этот факт говорит о том, что в широтной зависимости яркости лунных материков эмпирическая функция Акимова на больших углах фазы дает гораздо лучшее согласие с экспериментом, чем функция Хапке.

Также необходимо отметить, что на широтах j>60° формула Хапке даёт более крутой спад яркости к полюсам, чем формула Акимова (3.4). Поэтому, уточнение реальной широтной зависимости в этом диапазоне может дать дополнительную информацию о применимости обеих формул к описанию отражения света лунной поверхностью.

Основным же недостатком формулы Хапке все же является её громоздкость, требующая гораздо больших затрат вычислительных ресурсов при её использовании.

3.1.4. Физические свойства лунной поверхности, формирующие широтную зависимость (уточнение задачи диссертации).

Как было показано в п.3.1.2, распределение яркости по поверхности Луны (по крайней мере, по её материковой поверхности) во всём наблюдаемом диапазоне углов фазы можно описать функцией (3.3) с учётом (3.14). Причём эта функция содержит всего один параметр, характеризующий свойства рассеивающей поверхности – параметр n. Возникает закономерный вопрос: каков же физический смысл этого параметра?

На больших углах фазы у Луны наблюдается довольно сильное падение яркости к фотометрическим полюсам. Теории, описывающие рассеяние света сложными поверхностями (см. Главу 1), предлагают два основных объяснения этому факту. Первое – влияние многократного рассеяния: если поверхность обладает достаточно высоким альбедо, то у неё наблюдается падение яркости к полюсам (предельный случай – ортотропная поверхность, отражающая по закону Ламберта (1.18)). Второе объяснение – влияние достаточно сложного рельефа поверхности, что также приводит к появлению падения яркости к полюсам (предельным случаем здесь является "предельно шероховатая" поверхность, отражающая по закону Акимова (1.43)). Поэтому автор диссертации поставил перед собой задачу выяснить, чем в первую очередь обуславливается наблюдаемая широтная зависимость яркости лунной поверхности и соответствующее ей значение параметра n, т.е. попытаться разделить влияние на них альбедо и рельефа.

Для этого было решено, во-первых, сравнить широтную зависимость для разных типов лунной поверхности (моря – материки; светлые, обычные и тёмные материки, светлые и тёмные моря). Во-вторых, - оценить вклад в широтную зависимость яркости многократного рассеяния с помощью существующих теоретических моделей. В третьих, - сравнить широтную зависимость яркости в различных участках спектра, в которых Луна имеет различное альбедо. В-четвёртых, - привлечь к анализу данные наблюдений космических аппаратов, позволяющие значительно расширить диапазон наблюдаемых фотометрических условий. И, в-пятых, - исследовать широтную зависимость яркости лабораторных образцов, для которых известны некоторые параметры рельефа и альбедо. Обо всём этом и пойдет речь в следующих пяти разделах.

3.2. Широтная зависимость яркости различных лунных образований

Описанным в разделе 3.1 методом автор получил фазовые зависимости фактора гладкости q для различных типов лунной поверхности. Типы поверхности были выделены путём анализа гистограммы альбедо видимого полушария Луны, построенной по изображению лунного диска, полученному при a=2.68° в красном фильтре (изображение было приведено к абсолютному нормальному альбедо с помощью каталога [10]). Гистограмма представлена на рис.3.4, а изображение Луны – на рис.3.5а. Подтверждая известный факт многомодальности распределения альбедо лунной поверхности [30,52], на гистограмме визуально выделяются три кластера, соответствующие морям (альбедо <0.11), прибрежным областям материков (0.12-0.14) и основным материкам (>0.14). В качестве границ кластеров здесь были взяты точки локальных минимумов на гистограмме. Для последующего анализа были взяты два кластера: морской (<0.11) и объединённый материковый (>0.12).

Рис.3.4. Гистограмма распределения участков лунной поверхности по альбедо

Рис.3.5. Типы поверхности видимого полушария Луны, выделенные по альбедо

а - изображение Луны в красном фильтре при a=2.68°
б - моря (чёрным помечены точки, принадлежащие данному типу)
в - материки
г - тёмные моря
д - светлые моря
е - тёмные материки
ж - обычные материки
з - светлые материки

Чтобы провести более детальное исследование зависимости фактора гладкости от типа лунной поверхности, то же самое распределение альбедо было разделено на 5 более узких типов поверхности. Прежде всего было замечено, что на изображениях лунного диска моря чётко разделяются на два типа: светлые и тёмные. Характерную границу между ними можно увидеть в море Дождей, в море Ясности, на севере океана Бурь. Значение альбедо на этих границах составляет примерно 0.08. Поэтому для анализа были взяты два морских типа: тёмные моря (<0.08) и светлые моря (0.08-0.11).

Материки, во-первых, разделяются на два кластера на гистограмме (рис.3.4), о чём было сказано выше. Более тёмные области – это пограничные с морями районы и некоторые тёмные образования на материках. Более светлые – это основная часть материков, представляющая собой древний материковый щит. Во-вторых, отдельным типом материковой поверхности можно считать яркие молодые кратеры и выбросы из них. Они хорошо заметны на изображении Луны (рис.3.5а), и можно условно принять, что их альбедо выше 0.15-0.16. Таким образом для анализа были взяты три материковых типа: тёмные материки (0.12-0.14), обычные материки (0.14-0.15) и светлые материки (>0.16).

Для каждого из семи отобранных типов поверхности была вычислена «маска» - изображение, элементы которого имеют ненулевое значение, если точка принадлежит данному типу, и нулевое – если нет (рис.3.5б-з). Эти изображения-маски были затем использованы при обработке (см. п.2.2.4).

Полученные в результате обработки значения фактора гладкости представлены в табл.3.2 и табл.3.3. Отсутствие в некоторых ячейках результатов означает, что на данном изображении оказалось недостаточно точек, принадлежащих данному типу и расположенных в широком интервале фотометрических широт, что, в свою очередь, необходимо для получения достоверного результата.

Таблица 3.2. Фактор гладкости q лунных морей и материков

a	в	материки			моря
		q	Dq	s,%	q	Dq	s,%
10.84	К	0.070	0.035	3.0
30.70	К	0.150	0.060	5.1
-30.96	К	0.144	0.106	9.0	-0.141	0.154	5.3
35.22	К	0.167	0.102	8.7	-0.079	0.209	5.9
35.53	К	0.158	0.055	4.6
-37.99	К	0.172	0.100	8.4	-0.079	0.183	5.7
-38.60	К	0.181	0.072	6.0
-45.32	К	0.202	0.124	10.3	-0.059	0.221	6.9
61.95	К	0.295	0.091	7.0
82.32	м	0.515	0.107	7.6
-93.93	м	0.687	0.109	7.4	0.335	0.195	4.4
104.56	л	0.672	0.133	8.3
104.56	м	0.823	0.116	7.2
107.95	м	0.863	0.154	9.3	0.553	0.144	5.1
117.81	м	1.070	0.158	8.4
121.34	м	1.156	0.176	9.0	0.861	0.151	4.3
122.29	л	1.042	0.199	10.1
131.84	м	1.392	0.243	10.2
-133.32	л	1.241	0.241	9.9	0.798	0.228	5.5
134.97	л	1.649	0.341	13.3
135.22	м	1.561	0.262	9.9	1.144	0.255	6.7
148.97	м	1.778	0.541	10.9

a - угол фазы (в градусах); знак минус означает, что наблюдения проводились после полнолуния
в - вид наблюдений: "м" - с ПЗС-матрицей, "л" - с ПЗС-линейкой, "К" - наблюдения Корохина и Акимова [33]
q - фактор гладкости
Dq - погрешность для фактора гладкости (см. п.3.1.1)
s - среднее квадратичное отклонение наблюдений от функции (3.10).

Таблица 3.3. Фактор гладкости q для пяти типов поверхности

а - морские типы

a	в	тёмные моря			светлые моря
		q	Dq	s,%	q	Dq	s,%
-30.96	К	-0.216	0.181	3.8	-0.113	0.156	5.2
-37.99	К	-0.153	0.238	4.5
-38.60	К	0.009	0.112	2.4	0.085	0.067	3.0
-45.32	К	-0.158	0.300	5.7
-93.93	м	0.022	0.312	3.2	0.479	0.182	3.7
107.95	м	0.527	0.152	4.3
121.34	м	0.802	0.153	3.9
-133.32	л	0.471	0.293	4.0	0.788	0.244	5.8

б - материковые типы

a	в	тёмные материки			обычные материки			светлые материки
		q	Dq	s,%	q	Dq	s,%	q	Dq	s,%
10.84	К	0.093	0.042	3.2	0.074	0.031	2.7	0.071	0.033	2.8
30.70	К	0.139	0.067	4.2	0.186	0.066	5.6
-30.96	К	0.124	0.108	9.2
35.22	К	0.179	0.108	9.2
35.53	К	0.166	0.123	4.6	0.168	0.074	4.0	0.197	0.063	5.3
-37.99	К	0.164	0.126	8.1	0.165	0.113	9.5
-38.60	К	0.197	0.080	4.3	0.189	0.083	5.8	0.189	0.084	7.1
-45.32	К	0.193	0.149	10.0	0.208	0.145	12.0
61.95	К	0.313	0.199	6.0	0.309	0.109	5.5	0.361	0.139	10.8
82.32	м	0.470	0.079	4.8	0.517	0.099	7.0	0.560	0.160	10.7
-93.93	м	0.673	0.151	6.0	0.689	0.137	7.8
104.56	л	0.492	0.211	6.1	0.663	0.200	8.1	0.711	0.174	10.8
104.56	м	0.656	0.188	5.6	0.840	0.140	7.0	0.890	0.145	8.9
107.95	м	0.779	0.124	6.5	0.864	0.155	9.2	0.948	0.278	12.8
117.81	м	0.858	0.205	5.7	1.065	0.211	8.6	1.168	0.228	12.0
121.34	м	0.998	0.195	7.0	1.172	0.184	9.4	1.144	0.267	11.4
122.29	л	0.835	0.234	8.3	1.058	0.212	10.3
131.84	м	1.074	0.256	7.8	1.443	0.254	10.7
-133.32	л	1.231	0.246	8.6	1.263	0.256	10.3
134.97	л	1.382	0.255	10.0	1.809	0.474	15.3
135.22	м	1.324	0.269	8.1	1.672	0.286	10.8
148.97	м	1.558	0.445	9.0

a - угол фазы (в градусах); знак минус означает, что наблюдения проводились после полнолуния
в - вид наблюдений: "м" - с ПЗС-матрицей, "л" - с ПЗС-линейкой, "К" - наблюдения Корохина и Акимова [33]
q - фактор гладкости
Dq - погрешность для фактора гладкости (см. п.3.1.1)
s - среднее квадратичное отклонение наблюдений от функции (3.10).

На рис.3.6 те же данные представлены на графиках (значки). Там же изображены кривые, полученные в результате аппроксимации каждого набора точек функцией (3.14). При этом значения параметра n, входящего в неё, оказались следующими:

· моря - n=0.34±0.08; материки - n=0.52±0.09;

· тёмные моря - n=0.13±0.19; светлые моря - n=0.33±0.08;

· тёмные материки - n=0.44±0.09; обычные материки - n=0.54±0.12; светлые материки - n=0.60±0.13.

Рис.3.6. Зависимость фактора гладкости от угла фазы

значки - измеренные значения; кривые - аппроксимация

а - материки (кривая 1, светлые кружки)
    моря (кривая 2, тёмные кружки)
    линейные зависимости Акимова (3 - материки, 4 - моря)
б - светлые материки (кривая 1, светлые кружки)
    обычные материки (кривая 2, светлые квадраты)
    тёмные материки (кривая 3, светлые треугольники)
    светлые моря (кривая 4, тёмные кружки)
    тёмные моря (кривая 5, тёмные треугольники)

Эти результаты неплохо согласуются с полученными ранее [4] результатами Акимова (см. п.1.5.1). При углах фазы примерно до 60° у него получились линейные зависимости (1.51): q(a)=0.16×a (для морей) и q(a)=0.31×a (для материков). Они приведены на рис.3.6а в виде прямых. По данным автора диссертации фактор гладкости для морей так же примерно в два раза меньше, чем для материков. Однако, его значения получились несколько меньше, чем у Акимова. Скажем, при a=60° формула (3.14) для материков (n=0.52) даёт q=0.26, а линейная функция, приведенная Акимовым, даёт q=0.32. Разница между этими значениями лежит в пределах погрешности, что говорит о неплохом согласии результатов.

В то же время, формулы (3.3) и (3.14) с приведенными выше значениями параметра n дают более точное описание распределения яркости по поверхности Луны, которое может быть использовано, по крайней мере, при a<135°.

Анализируя полученные значения параметра n, можно увидеть, что чем выше альбедо у исследуемых областей, тем выше оказывается для них значение параметра n. Это справедливо как при сравнении морей и материков, так и при сравнении различных типов морей и различных типов материков. Это может означать, что существует прямая зависимость параметра n от альбедо, но также возможно и другое объяснение: материки древнее морей и имеют более мощный рельеф, что тоже может приводить к увеличению параметра n. Во втором случае наблюдаемая зависимость параметра n от альбедо будет лишь статистической.

Для того, чтобы отделить влияние альбедо на параметр n от влияния рельефа, необходимо провести специальные исследования. О них и пойдет речь в следующих разделах.

3.3. Влияние альбедо на широтную зависимость яркости

Многочисленные исследования (см. Главу 1) показывают, что альбедо поверхности очень сильно влияет на закон распределения яркости по диску планеты. Влияние это осуществляется посредством изменения доли многократного рассеянного света в отражённом излучении. Так, в некотором приближении, тёмный слой порошкообразного вещества (для которого можно учитывать только однократное рассеяние) отражает по закону Ломмеля-Зеелигера (1.10) (если не учитывать теневой эффект), а при увеличении альбедо (а с ним и вклада многократного рассеяния) закон отражения начинает изменяться и приближается к закону Ламберта (1.18), достигая его при альбедо, равном единице. Зависимость яркости от фотометрической долготы (для больших углов фазы) при этом меняется слабо (см. раздел 1.6), а вот широтная зависимость – весьма существенно: в законе Ломмеля-Зеелигера широтная зависимость отсутствует (q=0 в формуле (3.5)), а в законе Ламберта наблюдается существенное падение яркости к фотометрическим полюсам (q=1).

Если учесть теневой эффект, то рассеяние света слоем порошкообразного вещества можно описать формулой (1.26), полученной Мороженко и Яновицким [39]. В некотором смысле эта формула обобщает законы Ломмеля-Зеелигера и Ламберта на случай наличия теневого эффекта, а также описывает рассеяние света поверхностями с промежуточными значениями альбедо.

Реальные же поверхности, типа лунной, обладают еще и мощным мезорельефом, который сильно искажает закон отражения, полученный только для порошкообразного слоя (то есть для микрорельефа). Падение яркости к фотометрическим полюсам при этом, помимо зависимости от вклада многократного рассеяния, приобретает еще и зависимость (см. п.1.3.4) от мощности мезорельефа (под мощностью рельефа качественно понимается его сложность, многомасштабность). Поэтому, чтобы увидеть, какой вклад в закон отражения даёт мезорельеф, а какой – многократное рассеяние, автор диссертации решил исследовать широтную зависимость яркости в формуле (1.26) и сравнить её с наблюдаемой широтной зависимостью для Луны.

В формуле (1.26) зависимость от фотометрической широты не выделяется в виде отдельного сомножителя и зависит от фотометрической долготы. Автор аппроксимировал значения, даваемые функцией (1.26), выражением (3.5) при l=a/2 (зеркальный меридиан) и при l=85° (окрестность лимба). При этом значения параметров, входящих в функцию (1.26), были взяты из работы [39] как соответствующие лунной поверхности на длине волны =0.75 мкм: w=0.32, g=0.25, x₁=-1, k=1.

Полученные в результате зависимости q(a) представлены на рис.3.7 (кривые 1-2). Там же (кривая 5) для сравнения изображена функция (3.14) при n=0.52, полученном для лунных материков в красном участке спектра (см. п. 3.1.2).

Рис.3.7. Параметр широтной зависимости в функции Мороженко-Яновицкого

1 - для зеркального меридиана (l=a/2)
2 - для меридиана l=85°
3 - только однократное рассеяние (l=a/2)
4 - только однократное рассеяние (l=85°)
5 - функция (3.14) при n=0.52 (лунные материки)

Следует обратить внимание, что слабое падение яркости к фотометрическим полюсам в формуле (1.26), в отличие от закона Ломмеля-Зеелигера, наблюдается даже при отсутствии многократного рассеяния: на рис.3.7 (кривые 3-4) приведены зависимости q(a), вычисленные для функции (1.21), которая описывает только однократное рассеяние в (1.26).

Видно, что как при наличии многократного рассеяния, так и при его отсутствии на долготе l=85° параметр q больше, чем на зеркальном меридиане примерно на 0.1 на всем протяжении фазовых углов (за исключением оппозиции). Такое же увеличение параметра q, очевидно, наблюдается и вблизи терминатора. Вызвано оно, как можно понять, теневым эффектом, так как формула (1.21) отличается от закона Ломмеля-Зеелигера, не имеющего широтной зависимости, именно учётом теневого эффекта.

На средних же долготах (в районе зеркального меридиана) при отсутствии многократного рассеяния (кривая 3) параметр q мало отличается от нуля, становясь заметным лишь при a>160°. То есть основной вклад в широтную зависимость интенсивности излучения, формируемого в порошкообразном слое, подобном лунному реголиту, вносит многократное рассеяние света в этом слое. Очевидно, что при увеличении альбедо падение яркости к полюсам усиливается, так же, как и в случае, когда теневой эффект не учитывался.

Анализируя рис.3.7, можно также заметить, что параметр q, характеризующий широтную зависимость, создаваемую многократным рассеянием в порошкообразном слое лунного реголита (кривая 1), на больших углах фазы составляет примерно 10% от наблюдаемого значения (кривая 5). Эту цифру можно расценивать как вклад многократного рассеяния в широтную зависимость яркости: остальная её часть обусловлена влиянием мезорельефа.

Однако возможно, что при появлении мощного мезорельефа этот вклад меняется – он может, как возрасти, так и уменьшиться (вплоть до нуля). Исследовать этот эффект теоретически пока не представляется возможным, поэтому автор решил экспериментально изучить влияние альбедо на широтную зависимость яркости. Для этого он провёл наблюдения в двух участках спектра, в которых альбедо Луны заметно отличается, а рельеф одинаков.

3.4. Широтная зависимость показателя цвета лунной поверхности.

Как было показано в разделе 3.3, падение яркости к фотометрическим полюсам должно увеличиваться при увеличении альбедо, хотя этот эффект может быть и очень малым. Это означает, что показатель цвета лунной поверхности, вычисленный как отношение видимого альбедо в синей и красной областях спектра C=B_b/B_r, вообще говоря, должен обладать зависимостью от фотометрической широты (по крайней мере, на больших углах фазы), так как альбедо в синей части спектра примерно в 1.5 раза меньше, чем в красной. А именно, должно наблюдаться увеличение показателя цвета C к фотометрическим полюсам, так как в красном фильтре влияние многократного рассеяния на широтную зависимость должно быть больше.

 Тем не менее, в работе Акимова [4] было указано, что на изображении показателя цвета Луны при a=105° заметной широтной зависимости не наблюдается. Автор диссертации решил проверить этот факт, применив методы цифровой обработки, а также исследовать показатель цвета лунной поверхности в более широком диапазоне фазовых углов.

Если предполагать, что распределение яркости по диску Луны описывается выражением (3.3), то распределение по диску показателя цвета можно описать следующей функцией:

, 

где q_b-q_r – разность фактора гладкости в синей и красной областях спектра.

Для тех углов фазы, для которых имелись изображения в двух фильтрах, были построены изображения показателя цвета C. Примеры таких изображений приведены на рис.3.8. Далее значения показателя цвета, соответствующие каждому типу лунной поверхности (см. раздел 3.2), были аппроксимированы функцией (3.15). Полученные в результате значения величины q_b-q_r приведены в табл.3.4 и на рис.3.9.

Рис.3.8. Показатель цвета Луны

а - С(0.45/0.71 мкм) при a=93.93°
б - С(0.45/0.71 мкм) при a=121.34°
в - С(0.38/0.63 мкм) при a=142.38°

Для морских типов поверхности удалось получить разность q_b-q_r только для изображения западного полушария Луны при a=93.93°. Все остальные изображения показателя цвета получены для восточного полушария, где моря расположены близко к экватору; а так как локальные вариации показателя цвета довольно велики, то величина q_b-q_r для морей определяется с очень большими ошибками.

Также не удалось использовать изображения при a=135.22° и a=148.97° (даже для материков), так как, из-за большего атмосферного рассеяния света в синем фильтре, показатель цвета вблизи лимба оказался заниженным (это видно на рис.3.8а-б), что при углах фазы больше 130° приводит к значительным систематическим ошибкам при аппроксимации широтной зависимости.

Таблица 3.4. Разность фактора гладкости q в синем и красном участках спектра

а - моря и материки

a	в	материки			моря
		qb-qr	Dq	s,%	qb-qr	Dq	s,%
82.32	м	0.005	0.066	4.8
-93.93	м	-0.006	0.070	4.7	0.062	0.172	3.9
104.56	л	0.066	0.078	4.9
104.56	м	0.019	0.070	4.4
107.95	м	0.028	0.091	5.4
117.81	м	0.022	0.071	3.8
121.34	м	0.043	0.086	4.4
131.84	м	0.028	0.138	5.8
142.38	А	0.210	0.225	6.8

б - морские типы

a	в	тёмные моря			светлые моря
		qb-qr	Dq	s,%	qb-qr	Dq	s,%
-93.93	м	0.029	0.229	2.7	0.069	0.196	4.0

в - материковые типы

a	в	тёмные материки			обычные материки			светлые материки
		qb-qr	Dq	s,%	qb-qr	Dq	s,%	qb-qr	Dq	s,%
82.32	м	0.040	0.060	3.7	0.025	0.065	4.7	-0.005	0.092	6.1
-93.93	м	-0.014	0.109	4.3	-0.006	0.084	4.8
104.56	л	0.125	0.075	4.5	0.076	0.077	4.3	0.127	0.099	6.2
104.56	м	0.128	0.131	3.9	0.020	0.087	4.3	0.050	0.072	4.4
107.95	м	0.080	0.075	3.9	0.041	0.094	5.6	0.029	0.156	7.2
117.81	м	0.088	0.103	2.9	0.031	0.098	4.0	0.065	0.094	4.9
121.34	м	0.092	0.089	3.2	0.048	0.093	4.7	0.077	0.123	5.2
131.84	м	0.108	0.148	4.5	0.016	0.142	6.0

a - угол фазы (в градусах); знак минус означает, что наблюдения проводились после полнолуния
в - вид наблюдений: "м" - с ПЗС-матрицей, "л" - с ПЗС-линейкой, "А" - фотографические наблюдения Акимова (АЗТ-8, 1968 г.)
q_b-q_r - разность фактора гладкости в синем и красном участках спектра
Dq - погрешность для разности фактора гладкости, вычисленная способом, описанным в п.3.1.1
s - среднее квадратичное отклонение наблюдений от функции (3.15).

Рис.3.9. Разность в двух участках спектра показателя цвета лунных материков

а - все материки
б - тёмные материки
в - обычные материки
г - светлые материки

Практически все полученные значения величины q_b-q_r оказались, в пределах оцененной погрешности, равными нулю, что в целом подтверждает упомянутый выше результат Акимова. Однако на одном из полученных значений следует остановиться особо. Автор использовал два изображения, полученные фотографическим способом в 1968 году Л. А. Акимовым в ультрафиолетовой (_eff=0.38 мкм) и красной (_eff=0.63 мкм) областях спектра при a=142.38°. Посчитанное по ним значение q_b-q_r=0.21±0.22 оказалось достаточно большим, и несмотря на то, что оно отличается от нуля на величину порядка оцененной погрешности, на рис.3.8в можно даже визуально заметить уменьшение показателя цвета на высоких широтах по сравнению с экваториальной областью. Это уменьшение присутствует как в северном полушарии, так и в южном и достигает в некоторых местах 15-25%. Маловероятно, что это уменьшение объясняется неоднородностью чувствительности вдоль фотопластинки. Также это не может быть следствием эффекта нелинейности по яркости, так как долготная зависимость яркости Луны имеет более высокий градиент, чем широтная, и подобный эффект должен был проявиться в первую очередь в долготной зависимости. Поэтому можно сделать вывод, что фактор гладкости лунных материков в ультрафиолетовой области спектра несколько больше, чем в красной. Разница между красной и синей областями спектра если и есть, то очень мала.

То есть, в целом, наблюдается некоторое уменьшение величины фактора гладкости q при увеличении длины волны, по крайней мере, проявляющееся на больших углах фазы. Многократное рассеяние же, как отмечалось выше, должно приводить, наоборот, к увеличению фактора гладкости с длиной волны, чего совсем не наблюдается. Это говорит о том, что наблюдаемая широтная зависимость яркости формируется исключительно под влиянием мощного мезорельефа Луны.

3.5. Зависимость яркости отдельных морских участков от фотометрических координат в широком диапазоне спектра (анализ данных космических наблюдений).

В п.2.3 было отмечено, что наблюдения с космических аппаратов (КА) могут дать гораздо больше информации о законе отражения света Луной. В настоящее время вопрос стоит лишь об организации космического эксперимента по исследованию закона отражения. Впрочем, один из простейших вариантов такого эксперимента уже был проделан во время полёта космического аппарата "Клементина". Этот аппарат, во время его нахождения на лунной орбите, занимался, в основном, картированием поверхности Луны в различных участках спектра. Однако, были также проведены специальные наблюдения некоторых участков лунной поверхности, заключающиеся в следующем. Во время пролёта КА над исследуемым районом камера, установленная на аппарате, была всё время направлена на один и тот же участок поверхности. В результате были получены серии изображений одного и того же участка поверхности при изменяющихся фотометрических условиях наблюдения.

Автор диссертации решил привлечь эти данные для исследования закона отражения света, так как с их помощью, в отличие от исследований, описанных в предыдущих разделах, можно получить параметры закона отражения для отдельных участков поверхности, а не "средние" по всей поверхности, а также можно исследовать зависимость этих параметров от длины волны более детально, чем по двум спектральным полосам.

Были отобраны 4 серии наблюдений (4 "орбиты" КА), для которых фотометрическая широта менялась в достаточно широких пределах (0-35°). На изображениях этих серий оказались только морские районы (рис.3.10):

а) орбита 299 – район места посадки КА "Аполлон-15" (b=26.2°, l=3.4°);

б) орбита 309 – область в море Познанном (b=-7.2°, l=-23.3°);

в) орбита 322 – образование Рейнер-g в океане Бурь (b=7.0°, l=-59.0°);

г) орбита 323 – окрестность кратера Галилей (океан Бурь, b=8.7°, l=-62.0°)

(в скобках указаны селенографические координаты центров кадров, приведенных на рис.3.10).

Рис.3.10. Изображения КА "Клементина", представляющие каждую серию наблюдений

а - кадр LUE3909L.299 (район места посадки КА "Аполлон-15")
б - кадр LUB1367I.309 (область в море Познанном)
в - кадр LUB4843J.322 (образование Рейнер-g в океане Бурь)
г - кадр LUB3013L.323 (окрестность кратера Галилей)

Далее на этих изображениях были визуально выбраны 1-2 прямоугольных области (рис.3.10), имеющие максимально ровный рельеф. Это было сделано для того, чтобы при вычислении фотометрических координат можно было полагать равным нулю угол наклона нормали поверхности, так как этот угол в общем случае неизвестен. Также, ввиду невысокой фотометрической точности измерения в отдельном пикселе изображения, усреднение яркости по такой области даёт точность порядка 1-2%. Размеры областей составили около 30-50 пикселов (3-5 км на поверхности Луны).

Затем для каждой области были вычислены координаты её углов на каждом кадре серии, и найдено для каждого кадра усреднённое значение интенсивности света в данной области. При этом от кадра к кадру менялись не только фотометрические координаты области, но и угол фазы. Диапазон их изменения такой: 30°<a<80°, 0°<j<35°, 0°<l<70°. Полученные последовательности интенсивностей представлены на рис.3.11 в виде зависимостей от угла фазы.

Рис.3.11. Зависимости видимого альбедо морских участков от угла фазы, соответствующие отдельным сериям наблюдения КА "Клементина"

а - орбита 299, область 1, =0.42 мкм
б - орбита 309, область 1, =0.42 мкм
в - орбита 322, область 1, =0.42 мкм
г - орбита 323, область 1, =0.42 мкм

Видно, что на протяжении одного витка орбиты КА, в течение которого проводилось наблюдение какой-либо области, угол фазы сначала уменьшался (примерно до того места, когда космический аппарат оказывался над исследуемой областью), а затем увеличивался. Однако, при одних и тех же значениях угла фазы до и после пролета над областью значения измеренной интенсивности оказались различными (две ветви на каждой кривой). Понятно, что это обусловлено различием фотометрических координат для каждой пары наблюдений, что приводит к различным значениям функции распределения яркости Y(a,j,l).

Таким образом, если перейти от видимого альбедо к эквигональному альбедо r, разделив измеренные значения интенсивностей на функцию распределения Y(a,j,l), то на полученной зависимости r(a) две ветви кривой должны совместиться. Добиться этого можно, подбирая функцию Y. В частности, если использовать формулу (3.4), то подбирать нужно параметр q(a). Но так как угол фазы меняется от кадра к кадру, необходимо сразу задать зависимость параметра q от угла фазы. Когда автор выполнял эту часть диссертационной работы, функция (3.14), представляющая собой зависимость q(a) для Луны, еще не была получена, поэтому в качестве фазовой зависимости параметра q была взята линейная функция (1.51):

, 

где k – параметр, в некоторой степени аналогичный параметру n в (3.14) при a<80°.

Значения параметра k были найдены для каждой исследуемой области в каждом фильтре путём минимизации отклонения одной ветви фазовой кривой от другой. Совмещённые кривые изображены на рис.3.12. Найденные при этом значения параметра k представлены в табл.3.5 и на рис.3.13. Точность совмещения ветвей составила 1-2%. Следует отметить, что достаточно высокие значения параметра k, полученные для орбиты 322, имеют самую низкую надёжность, так как в исходных данных на одной из ветвей (рис.3.11) содержится очень мало точек.

Рис.3.12. Зависимости эквигонального альбедо морских участков от угла фазы, соответствующие отдельным сериям наблюдения КА "Клементина"

а - орбита 299, область 1, =0.42 мкм
б - орбита 309, область 1, =0.42 мкм
в - орбита 322, область 1, =0.42 мкм
г - орбита 323, область 1, =0.42 мкм

Таблица 3.5. Значения параметра k по данным КА "Клементина"

а - орбита 299 ("Аполлон-15")

, мкм	область 1		область 2
	k	m	k	m
0.415	0.18	0.87	0.15	0.82
0.750	0.22	0.75	0.22	0.72
0.900	0.27	0.73	0.26	0.70
0.950	0.30	0.72	0.29	0.70
1.000	0.33	0.72	0.29	0.69

б - орбита 309 (море Познанное)

, мкм	область 1		область 2
	k	m	k	m
0.415	0.32	0.75	0.35	0.71
0.750	0.30	0.66	0.32	0.63
0.900	0.28	0.66	0.32	0.64
0.950	0.27	0.65	0.31	0.64
1.000	0.28	0.66	0.30	0.64

в - орбита 322 (Рейнер-g)

, мкм	область 1		область 2
	k	m	k	m
0.415	0.63	0.66	0.57	0.67
0.750	0.80	0.51	0.74	0.52
0.900	0.74	0.52	0.69	0.52
0.950	0.68	0.54	0.67	0.53
1.000	0.78	0.50	0.72	0.52

г - орбита 323 (окрестность кратера Галилей)

, мкм	область 1
	k	m
0.415	0.08	0.89
0.750	0.29	0.74
0.900	0.31	0.72
0.950	0.36	0.70
1.000	0.44	0.67

- длина волны
k - параметр функции (3.16)
m - эффективный коэффициент шероховатости

Рис.3.13. Зависимость параметра k морских участков от длины волны (цифрами обозначены номера областей)

Рис.3.14. Зависимость эффективного коэффициента шероховатости m морских участков от длины волны (цифрами обозначены номера областей для каждой орбиты)

Отметим, что полученные в результате совмещения фазовые зависимости эквигонального альбедо r(a) (рис.3.12), представляют дополнительный интерес, так как по ним может быть найден эффективный коэффициент шероховатости m. В исследуемом диапазоне фазовых углов зависимость r(a) можно представить функцией (3.2). Аппроксимируя этой формулой зависимость r(a), автор нашёл значения m для каждой исследуемой области в каждом фильтре. Эти значения представлены в табл.3.5 и на рис.3.14, а функция (3.2) с этими значениями m изображена на рис.3.12 в виде кривых. Видно, что наблюдательные данные неплохо описываются функцией (3.2), а в зависимости параметра m от длины волны явно проявляется обратная зависимость m от альбедо (на спектральных кривых даже хорошо заметна полоса пироксенов на 0.95 мкм), что хорошо согласуется с результатами, полученными другими авторами [5,33]. Это говорит о том, что данные КА "Клементина" вполне пригодны для исследования закона отражения света Луной.

Анализируя спектральные зависимости параметра k (рис.3.13), можно заметить, что они сильно отличаются друг от друга. На некоторых из них параметр k заметно возрастает с длиной волны, на некоторых – возрастает меньше, а на некоторых – даже несколько уменьшается. При этом на тех кривых, где k заметно возрастает (орбиты 322 и 323), также заметны признаки полосы пироксенов на 0.95 мкм, что может говорить о корреляции параметра k с альбедо, так последнее имеет похожую спектральную зависимость. А для орбит 299 и 309 параметр k довольно слабо меняется с длиной волны, так же, как это наблюдается при наземных наблюдениях для параметра n (см. раздел 3.4).

Таким образом, учитывая, что параметры n и k имеют практически одинаковый смысл, можно сделать вывод, что для некоторых участков лунной поверхности фактор гладкости (а с ним и параметр n) всё же зависит от альбедо; причём эта зависимость – прямая, что хорошо объясняется влиянием многократного рассеяния в реголите. Однако, в разделе 3.4 было показано, что в среднем для основных типов лунной поверхности такая зависимость отсутствует, поэтому можно утверждать, что такие участки имеют весьма малую представительность на поверхности Луны.

3.6. Широтная зависимость яркости лабораторных образцов

В предыдущих разделах было показано, что широтная зависимость яркости лунной поверхности подвержена влиянию как рельефа, так и альбедо. Был также проведен сравнительный анализ широтной зависимости для различных типов лунной поверхности в различных участках спектра. Однако, чтобы сделать более уверенный вывод о степени влияния альбедо и рельефа на широтную зависимость яркости, автор диссертации решил привлечь к анализу данные индикатометрических измерений лабораторных образцов, для которых известны альбедо и некоторые параметры рельефа.

Были взяты данные измерений из докторской диссертации Л.А. Акимова [6] (образцы 4-5), а также данные дополнительных измерений, проведенных Л.А. Акимовым на том же приборе в 1999 году (образцы 1-3). Приведём краткое описание образцов, результаты измерения которых были исследованы автором диссертации.

Измерялся образец из окиси железа (образец 1) в голубой (_eff=0.48 мкм) и красной (_eff=0.63 мкм) областях спектра. Альбедо образца 0.046 и 0.31 соответственно (при α=2°, угле падения i=32° и угле отражения ε=30°, по отношению к стандартному экрану). Образец состоит из частиц размером меньше 2 мкм (уже на таком размере частицы непрозрачны в голубой области спектра). Этот порошок был насыпан через сито с определённой высоты. Частицы и конгломераты частиц свободно падают на поверхность и образуют сложный рельеф, близкий к тому, который мы имеем на Луне и безатмосферных телах Солнечной системы.

Измерялись образцы из шлака, образующегося от сгорания угля. Он состоит из мелких частиц, по размерам, форме, цвету и происхождению (спёкшиеся, остеклованные) хорошо имитирующих лунный реголит. Альбедо его в голубых лучах 0.14, в красных – 0.27 (при α=2°, i=32°, ε=30°, по отношению к стандартному экрану). Один образец получен путём свободного насыпания на подложку (образец 2). Другой после насыпания был примят стеклянной пластинкой, что приводит к значительному сглаживанию рельефа (образец 3).

Наконец, исследовались образцы из окиси магния, используемого часто как аналог абсолютно белой поверхности. Альбедо его при i=2.5°, ε=0° по отношению к стандартному экрану равно 1.1. Один образец из него был сделан путём осаждения копоти от сгорания магния на плоскую пластинку (образец 4). Второй образец (образец 5) изготовлен следующим образом. Копоть окиси магния была спрессована, затем раздроблена на конгломераты размером от 0.5 мм и меньше. Эти конгломераты были свободно насыпаны на подложку. Тем самым формировался рельеф, подобный тому, который существует на Луне и других безатмосферных телах Солнечной системы.

Для всех образцов была исследована зависимость их видимого альбедо от фотометрической широты (в диапазоне 0°<φ<60°) для различных углов фазы (2-130°). Распределения яркости вдоль широты, полученные в результате измерений, автор диссертации аппроксимировал выражением (3.5), в результате чего были получены значения фактора гладкости q для каждого угла фазы. Эти значения представлены в табл.3.6 и на рис.3.15. Видно, что полученные зависимости q(α) являются, в целом, возрастающими, как и в случае поверхности Луны, однако при α=0 они в нуль не обращаются, в то время как для однородной Луны при α=0 яркость не зависит от фотометрических координат.

Таблица 3.6. Фактор гладкости q лабораторных образцов

a		2	20	40	60	80	100	110	120	130
i		22	0	0	0	20	40	50	60	60
e		20	20	40	60	60	60	60	60	70
N	F	q									q0	n
1	B	0.06	0.14	0.18	0.22	0.25	0.32	0.38			0.13	0.16
1	R	0.15			0.41	0.45	0.54	0.68		0.74	0.34	0.17
2	B	0.08	0.19	0.25	0.30	0.35	0.41		0.54		0.19	0.18
2	R	0.15	0.25	0.31	0.36	0.41	0.54		0.60		0.25	0.19
3	B	0.27	0.49	0.49	0.45	0.48	0.59		0.76		0.42	0.15
3	R	0.40	0.55	0.56	0.51	0.58	0.61		0.76		0.50	0.11
4	R	0.90
5	R	0.35

a - угол фазы, i - угол падения, e - угол отражения (все - в градусах);
N - номер образца (описание см. в тексте);
F - фильтр (В - голубой, R - красный);
q₀, n - параметры функции (3.17) (см. раздел 3.7).

Рис.3.15. Зависимость фактора гладкости образцов от угла фазы

светлые значки и крестики (пунктирные линии) - красный фильтр
тёмные значки (сплошные линии) - синий фильтр

кружки - образец 1 (окись железа)
треугольники - образец 2 (шлак, насыпанный)
квадраты - образец 3 (шлак, примятый)
косой крестик - образец 4 (окись магния, напылённая)
прямой крестик - образец 5 (окись магния, конгломераты)

На рис.3.15 видно, что в красной области спектра фактор гладкости больше, чем в голубой: для шлака (образцы 2-3) – на 0.05-0.07, для окиси железа (образец 1) – на 0.2-0.3. Причём, для шлака эта разница явно не зависит от угла фазы, для окиси железа из-за малого количества точек подобный вывод сделать трудно. В работе Акимова [4] был тоже исследован образец из окиси железа, однако для него разность q в двух участках спектра оказалась малой (примерно 0.04), из чего был сделан вывод, что альбедо влияет на широтную зависимость яркости незначительно. Здесь же мы видим, что для другого образца из того же вещества (вероятно, отличающегося рельефом поверхности) разность q уже существенна.

Также видно, что у "шероховатого" образца шлака (образец 2) фактор гладкости q меньше, чем у "гладкого" (образец 3), особенно при α<60° (разница 0.15-0.3). То же наблюдается и для окиси магния: у "гладкого" образца q=0.9 (при α=2°), а у "шероховатого" q=0.35.

Анализ полученных результатов будет проведен ниже, в разделе 3.7.

Комментируя рис.3.15, отметим также, что наблюдаемый на всех последовательностях точек "завал" при α<20° может быть объяснён оппозиционным эффектом, а точнее эффектом когерентного усиления обратного рассеяния, о котором говорилось в п.1.3.3. Действительно, данный эффект приводит к усилению той составляющей отражённого излучения, которая возникает в результате многократного рассеяния в слое вещества. Причём, при угле фазы α=2°, на котором проводились измерения, так же, как и при бóльших углах фазы, характерный масштаб, в котором происходит многократное рассеяние, формирующее данный эффект, достаточно мал: он сравним с длиной волны и размером мелких частиц, из которых состоит образец. То есть усиливается излучение, производимое однократным рассеянием мелкими частицами вещества. А как было указано в разделе 3.3, широтная зависимость яркости при отсутствии мощного рельефа (особенно при малых углах фазы) возникает из-за многократного рассеяния в порошкообразном слое вещества. То есть, если разделить отражённое слоем вещества излучение на однократно и многократно рассеянное, то оппозиционный эффект при α=2° будет присутствовать, в основном, в первой составляющей, а широтная зависимость – во второй. Следовательно, наличие оппозиционного эффекта должно приводить к уменьшению величины q, определяемой для суммарной широтной зависимости яркости. Для Луны подобного не наблюдается, так как её яркость в полнолуние и так не зависит от фотометрической широты.

3.7. Обсуждение результатов

Результаты измерения образцов действительно показывают увеличение фактора гладкости q с альбедо, что, как было отмечено в разделе 3.3, должно иметь место, в первую очередь, для ровных (в масштабе мезорельефа) поверхностей. Это иллюстрируется поднятием кривых q(α) при переходе из голубой в красную область спектра (рис.3.15, образцы 1-3). При этом зависимость q от угла фазы для ровных поверхностей, по-видимому, является незначительной. Действительно, в нашем примере с "приглаженным" образцом шлака получилось значение q»0.56 (в красном фильтре) без существенного фазового хода.

Для лунных материков увеличения фактора гладкости с альбедо не обнаружено, и даже, наоборот, наблюдается небольшое его уменьшение. Это говорит о том, что при достаточно мощном мезорельефе влияние альбедо становится очень слабым.

Анализируя кривые q(α) для образцов (рис.3.15) и лунных образований (рис.3.6), автор диссертации заметил, что функция q(α) качественно разделяется на две составляющие: постоянную и возрастающую с углом фазы, которые по-разному зависят от альбедо и рельефа. Сравнивая кривые q(α) для "гладких" и "шероховатых" образцов (рис.3.15, образцы 2-5), мы видим, что при увеличении шероховатости постоянная составляющая функции q(α) резко падает, но зато появляется составляющая, растущая с углом фазы. Для лунных образований (рис.3.6), имеющих, видимо, значительно бóльшую степень переработки поверхностного вещества, при α=0 фактор гладкости вообще равен нулю, а наклон кривой q(α) ещё больше, чем для образцов. Т.е. остаётся только составляющая, растущая с углом фазы, которую можно описать выражением (3.14) с ν=0.34 для морей или ν=0.52 для материков. И, наконец, для предельно шероховатой поверхности, описываемой теоретическим законом Акимова (1.43), ν достигает значения, равного единице.

Поэтому автор предлагает описать фазовую зависимость фактора гладкости (без учёта оппозиционного эффекта) следующим выражением:

, 

где q₀ и ν – некоторые параметры. Это выражение аналогично линейной функции , предложенной в работе [4] для описания фазовой зависимости q образцов, и может быть применено как при больших углах фазы для образцов, так и для Луны.

Из анализа фазовых кривых фактора гладкости следует, что величина ν является, в основном, характеристикой рельефа поверхности, а q₀ зависит и от рельефа, и от альбедо. Параметр q₀ уменьшается при возрастании мощности мезорельефа; а при достаточно сложном рельефе, таком, какой мы, в основном, имеем на Луне, параметр q₀ обращается в нуль, и закон распределения яркости по диску является функцией только одного параметра рельефа ν. Этим можно объяснить тот факт, что фактор гладкости лунных материков практически не зависит от длины волны, тогда как альбедо зависит существенно. Более того, в ультрафиолетовой области спектра фактор гладкости оказался даже несколько больше, чем в красной, что может говорить о том, что в формировании широтного распределения яркости участвуют масштабы рельефа вплоть до сравнимых с длиной волны, а параметр ν имеет непосредственную зависимость от длины волны, не связанную с изменением альбедо.

Различие в альбедо между морями и материками, очевидно, вносит весьма незначительный вклад в широтную зависимость их яркости, а меньшее значение фактора гладкости для морей объясняется тем, что степень переработки морского материала экзогенными процессами значительно меньше, чем материкового.

В то же время было обнаружено, что для некоторых морских областей фактор гладкости всё же зависит от альбедо (см. раздел 3.5). Вероятно, это объясняется тем, что эти области имеют менее мощный мезорельеф, чем в среднем по Луне (действительно, области были отобраны на изображениях как наиболее ровные); и для них параметр q₀, зависящий от альбедо, может быть отличен от нуля. Тогда следует применять для описания фазовой зависимости q формулу (3.17) с двумя параметрами q₀ и ν. К сожалению, для достоверного нахождения двух параметров данных КА "Клементина" оказалось недостаточно.

Что же касается поверхностей искусственных, таких, как лабораторные образцы, то для них, ввиду отсутствия мощного мезорельефа, параметр q₀ существенно отличается от нуля. Автор аппроксимировал зависимости q(α) для образцов функцией (3.17): полученные значения параметров q₀ и ν представлены в табл.3.6. Видно, что значения параметра ν лежат в пределах 0.1-0.2, что в среднем меньше, чем для Луны. При этом для шероховатых образцов значения ν заметно выше, чем для ровных, что подтверждает предположение о прямой связи параметра ν с мощностью рельефа.

А вот параметр q₀ изменяется в широких пределах: от 0.1 до примерно 1 (для окиси магния). При этом прослеживается прямая корреляция этого параметра с альбедо, но, в то же время, при увеличении мощности рельефа параметр q₀ заметно уменьшается.

Подводя итог, можно сделать вывод, что эмпирическая формула Акимова (3.4) с фактором гладкости в виде функции (3.17), содержащей два параметра, характеризующих отражающую поверхность, может быть применена для очень широкого класса поверхностей, начиная от ровных искусственных поверхностей, до имеющих такой сложный рельеф, как у поверхности Луны.

<Предыдущий раздел | Оглавление | Следующий раздел>